针对您提出的问题，如果公司在第二次合同到期后不续签，员工是有权根据《劳动合同法》的相关规定要求经济补偿的。根据《劳动合同法》第四十四条第一项和第四十六条第五项的规定，劳动合同期满的，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。这意味着，除非公司能提供更好的条件而员工拒绝续签，否则员工有权要求经济补偿。
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从法律角度，公司第二次合同到期不续签，除特定情形外，需要承担支付经济补偿的责任。同时，公司应确保在合同终止过程中遵循合法程序，如提前通知、支付欠薪等，否则还可能面临支付赔偿金、受到行政处罚等法律责任。
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若员工希望在第二次合同到期后继续工作，但公司不续签，员工可以采取以下措施：首先，与公司进行协商，了解不续签的具体原因，并尝试达成续签的共识；其次，若协商无果，员工可以准备相关证据，如工作表现、合同文本等，向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。